Μετρική Λεβί–Προχόροφ

Στα μαθηματικά, η μετρική Λεβί-Προχόροφ (μερικές φορές γνωστή απλά ως «μετρική του Προχόροφ) είναι μια μετρική (δηλαδή, ένας ορισμός απόστασης) της συλλογής των μέτρων στις πιθανότητες σε ένα δεδομένο μετρικό χώρο. Ονομάστηκε από το Γάλλο μαθηματικό Πωλ Πιέρ Λεβί και τον Σοβιετικό μαθηματικό Γιούρι Βασίλεβιτς Προχόροφ. Ο Προχόροφ την εισήγαγε το 1956, ως την γενίκευση της προηγούμενης μετρικής του Λεβί.

Ορισμός

Ας είναι $(M,d)$ ένας μετρικός χώρος με την Μπορελιανή σ-άλγεβρα ${\mathcal {B}}(M)$. Έστω ότι η ${\mathcal {P}}(M)$ την συλλογή όλων μέτρων πιθανότητας σε έναν μετρήσιμο χώρο $(M,{\mathcal {B}}(M))$.

Για ένα υποσύνολο $A\subseteq M$, ορίζουμε την ε-γειτονιά του $A$ με

$A^{\varepsilon }:=\{p\in M~|~\exists q\in A,\ d(p,q)<\varepsilon \}=\bigcup _{p\in A}B_{\varepsilon }(p).$

όπου $B_{\varepsilon }(p)$ είναι η ανοιχτή μπάλα ακτίνας $\varepsilon$ με κέντρο $p$.

Η μετρική Λεβί-Προχόροφ $\pi :{\mathcal {P}}(M)^{2}\to [0,+\infty )$ ορίζεται θέτοντας την απόσταση μεταξύ δυο μέτρων πιθανότητας $\mu$ και $\nu$ να είναι

$\pi (\mu ,\nu ):=\inf \left\{\varepsilon >0~|~\mu (A)\leq \nu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \ {\text{and}}\ \nu (A)\leq \mu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \ {\text{for all}}\ A\in {\mathcal {B}}(M)\right\}.$

Για μέτρα πιθανοτήτων που ξεκάθαρα ισχύει $\pi (\mu ,\nu )\leq 1$.

Μερικοί συγγραφείς παραλείπουν μια από τις δύο ανισότητες ή να επιλέγουν μόνο ανοιχτό ή κλειστό $A$; Καθεμιά ανισότητα συνεπάγεται την άλλη, αλλά περιορίζοντας σε ανοικτή ή κλειστή αλλάζει το πως ορίζεται η μετρική.

Ιδιότητες

• Εάν ο $(M,d)$ είναι διαχωρίσιμος, η απόκλιση των μέτρων με την μετρική Λεβί-Προχόροφ είναι ισοδύναμη με την αδύναμη απόκλιση των μέτρων. Έτσι το $\pi$ είναι μια μετροποίηση της τοπολογίας των αδύναμων αποκλίσεων.
• Ο μετρικός χώρος $\left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)$ είναι διαχωρίσιμος αν και μόνο αν ο $(M,d)$ είναι διαχωρίσιμος.
• Αν ο $\left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)$ είναι πλήρης τότε και ο $(M,d)$ είναι πλήρης. Αν όλα τα μέτρα στην ${\mathcal {P}}(M)$ έχουν διαχωρίσιμη υποστήριξη, τότε υπονοείται ότι: αν ο $(M,d)$ είναι πλήρης τότε και ο $\left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)$ είναι πλήρης.
• Αν ο $(M,d)$ είναι διαχωρίσιμος και πλήρης, τότε ένα υποσύνολο ${\mathcal {K}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)$ είναι σχετικά συμπαγές αν και μόνο αν το $\pi$-κλείσιμο είναι και $\pi$-συμπαγές.

Βιβλιογραφία

• Billingsley, Patrick (1999). Convergence of Probability Measures. John Wiley & Sons, Inc., New York. ISBN 0-471-19745-9. OCLC 41238534. 
• Zolotarev, V.M. Lévy–Prokhorov metric. l/l058320.